Mechanická práca
K pojmu práce ako dráhového účinku sily sme vedení skúsenosťou, napr. pri  posúvaní bremena po dráhe. Práca sa tu koná tak, že sila posúva bremeno vo svojom smere po dráhe. A ak sila a dráha majú rovnaký smer,  zo strednej školy vieme, že prácu potom definujeme ako súčin sily a dráhy (W = Fs). Ale ako budeme definovať prácu, ak sa bude meniť veľkosť sily alebo ak sila a dráha budú mať rôzny smer?

Majme hmotný bod, ktorý sa pohybuje po ľubovoľnej trajektórii (obr. 2.3.1). Zaujíma nás aký bude dráhový účinok sily, ktorá začne pôsobiť na hmotný bod na určitom zvolenom úseku trajektórie (medzi bodmi A a B).

Obr. 2.3.1: Na hmotný bod pôsobí sila po dráhe, ktorá je určená bodmi A a B.

Polohy bodov A, B popíšme pomocou polohových vektorov vzhľadom na zvolený referenčný bod O a nech rýchlosti hmotného bodu v týchto bodoch  sú . 
Dráhový účinok sily potom hodnotíme pomocou dráhového integrálu sily

        (2.3.1)


kdeje sila pôsobiaca na hmotný bod a je elementárne posunutie hmotného bodu. Skalárna veličina W definovaná dráhovým integrálom (2.3.1) sa nazýva mechanická práca. 


Vzťah pre prácu môžme vyjadriť aj pomocou integrálu
    (2.3.2)

kde a je uhol medzi vektorom sily a elementárnym posunutím, F_t je veľkosť priemetu sily do smeru pohybu pôsobiska sily v danom mieste dráhy a ds je veľkosť elementárneho posunutia hmotného bodu (obr. 2.3.1). Teda práca je určená dráhovým integrálom priemetu sily do smeru pohybu pôsobiska sily.

Pri matematických úpravách vzťahu (2.3.2) sme použili skalárny súčin vektorov a v tvare  a ďalej vzťahy  a .

Zo vzťahov (2.3.1) a (2.3.2) vyplýva, že veľkosť práce závisí od veľkosti sily, dráhy a od orientácie sily vzhľadom k smeru pohybu hmotného bodu (možnosti výpočtu práce z tohto hľadiska). 

Jednotkou práce je 1 joule (1 J), je to práca, ktorú vykoná sila 1 N pôsobiaca po dráhe 1 m v smere dráhy (W) = 1 J a jej rozmer je 1 J = 1 Nm = 1 kg m²s^-2.

Kontrolka: Obrázok znázorňuje tri prípady pôsobenia sily na hranol po hladkej podložke. Pomocou vzťahu (2.3.2) zistite, ktorá z nich znázorňuje pôsobenie sily, ktorej práca bude nulová.