Potenciálna energia hmotného bodu
V tejto časti si ukážeme ako vypočítať prácu v prípade, keď chceme zo zemského povrchu dvihnúť teleso do určitej výšky, keď chceme zmeniť polohu telesa zaveseného na pružine alebo  odtiahnuť kovový predmet od tyčového magnetu či na vodič nabitý záporným nábojom chceme umiestniť ďalší záporný náboj. 

Majme guľôčku (hmotný bod) pripevnenú na koniec pružiny a ťahom ruky ju premiestnime z polohy 1 do polohy 2 po dráhe s (obr. 2.3.10). 

Obr.2.3.10: Guľôčka je premiestnená z polohy (1) do (2) ťahom ruky.

V tomto prípade koná prácu vonkajšia sila (sila ktorou naťahujeme pružinu)
.        (2.3.22)



V oboch krajných polohách má guľôčka nulovú kinetickú energiu (jej rýchlosť je nulová), aj napriek tomu, že sme vykonali prácu. To je možné v súlade s prvým Newtonovým pohybovým zákonom len tak, že existuje sila (pružná sila pružiny) , pre ktorú platí

.              (2.3.23)

Práca vonkajšej sily sa prejaví v tom, že hmotný bod sa premiestnil z polohy 1 do polohy 2 (pružina je natiahnutá). Keď pružinu uvoľníme, vráti sa guľôčka do počiatočnej polohy 1. Napätá pružina má schopnosť konať prácu, čo sa prejaví pri premiestnení hmotného bodu z miesta 2 do miesta 1.  Vonkajšia sila prekonávala silu pružnosti.

V prípadoch uvedených na začiatku vonkajšia sila pri konaní práce prekonáva tiažovú silu pri premiestnení telesa zo zemského povrchu, magnetickú silu pri odťahovaní kovového predmetu od magnetu a elektrickú silu pri umiestňovaní záporného náboja na nabitý vodič.

Celková práca síl pôsobiacich na hmotný bod je v tomto prípade nulová, ale prácou vonkajšej sily hmotný bod upevnený na pružine získal schopnosť konať prácu, teda má určitú formu energie, aj v prípade, že je v kľude. Túto energiu nazývame potenciálna energia.

Potenciálnu energiu možno definovať len v poli konzervatívnych (potenciálových) síl. Sila je konzervatívna, ak závisí iba od polohy a práca vykonaná touto silou závisí iba o počiatočného a koncového bodu dráhy, pozdĺž ktorej sila pôsobí na hmotný bod, práca teda nezávisí od dĺžky prejdenej dráhy. To znamená, že práca vykonaná pozdĺž uzavretej dráhy je nulová.


Príklad 2.3.8

Je treba si uvedomiť, že na rozdiel od kinetickej energie, potenciálna energia hmotného bodu závisí nielen od charakteristík hmotného bodu, ale aj od vlastností silového poľa. preto sa pre potenciálnu energiu nedá určiť jediný výraz ako pre kinetickú energiu.

 Príklad 2.3.9

Zmena potenciálnej energie
Pomocou práce vykonanej pri premiestnení hmotného bodu v konzervatívnom silovom poli definujeme zmenu potenciálnej (polohovej) energie hmotného bodu v uvažovanom silovom poli. Nech E_p1 je potenciálna energia hmotného bodu v mieste1 a E_p2 je potenciálna energia hmotného bodu v mieste 2. Zmenu potenciálnej energie DE_p = E_p2 -E_p1 definujeme pomocou práce, ktorú vykonajú vonkajšie sily pri premiestnení hmotného bodu z polohy  l  do polohy  2. So zreteľom na vzťah pre prácu  (3.2.22) a zohľadnením vzťahu (2.3.23), môžeme zmenu  potenciálnej energie definovať aj vzťahom 
.        (2.3.24) 

alebo 

DE_p = E_p2 -E_p1  = W                         (2.3.25)

Vektory a v rov. (2.3.24) určujú polohu bodov 1  a 2 aje sila, ktorou na hmotný bod pôsobí konzervatívne silové pole. Podľa uvedenej definície predstavuje zmena potenciálnej energie prácu vonkajších síl potrebnú na premiestnenie telesa medzi dvoma polohami za neustálej rovnováhy vonkajšej sily a sily poľa.

Zo vzťahu (2.3.25) vyplýva, že môžeme len určiť zmenu potenciálnej energie a ak chceme hovoriť o potenciálnej energii v danom mieste musíme si zvoliť jej hodnotu v jednom bode. Potenciálna energia je určená s presnosťou na ľubovoľnú aditívnu konštantu.

Príklad 2.3.10

Pozri ešte: Závislosť sily od potenciálnej energie hmotného bodu